八年级数学勾股定理教案（勾股定理学习教案）
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知识梳理： 识结构框架图： 拼图法 探索勾股定理 直角三角形三边得关系——勾股定理
方法1：角 直角三角形的判定 探索勾股定理 方法2：边
求几何体表面两点之间的最短距离
勾股定理的应用 在直角三角形中求未知边 其他
1.勾股定理： （1）直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．就是说，对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有 这就是勾股定理． （2）勾股定理应用的前提条件是在直角三角形中． （3）由于 ，所以c＞a，同理c＞b，即直角三角形的斜边大于该直角三角形中的每一条直角边． 2.勾股定理逆定理 “若三角形的两条边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形为直角三角形.”这一命题是勾股定理的逆定理.它可以帮助我们判断三角形的形状，为根据边的关系解决角的有关问题提供了新的方法.定理的证明采用了构造法. 两个命题中, 如果第一个命题的题设是第二个命题的结论, 而第一个命题的结论又是第二个命题的题设,那么这两个命题叫做互逆命题.如果把其中一个叫做原命题, 那么另一个叫做它的逆命题. 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题, 那么它也是一个定理, 这两个定理叫做互逆定理, 其中一个叫做另一个的逆定理. 3.勾股定理的证明： （1）勾股定理的证明方法有很多种，教材是采用了拼图的方法证明的．先利用拼图的方法，然后再利用面积相等证明勾股定理． （2）证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积和化简整理得到勾股定理． 勾股数： 4.勾股数：满足 的三个正整数，称为勾股数． 说明： ① 个数必须是正整数，例如：2.5、6、6.5满足 ，但是它们不是正整数，所以它们不是够勾股数． ② 组勾股数扩大相同的整数倍得到三个数仍是一组勾股数． ③ 住常用的勾股数再做题可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 5.勾股定理的应用 （1）在不规则的几何图形中，通常添加辅助线得到直角三角形． （2）在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图．领会数形结合的思想的应用． （3）常见的类型：①勾股定理在几何中的应用：利用勾股定理求几何图形的面积和有关线段的长度． ②由勾股定理演变的结论：分别以一个直角三角形的三边为边长向外作正多边形，以斜边为边长的多边形的面积等于以直角边为边长的多边形的面积和． ③勾股定理在实际问题中的应用：运用勾股定理的数学模型解决现实世界的实际问题． ④勾股定理在数轴上表示无理数的应用：利用勾股定理把一个无理数表示成直角边是两个正整数的直角三角形的斜边． |
考点一 勾股定理
【例1】计算：
（1）在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝8，b＝15，求c
（2）在Rt△ABC中，∠B＝90°，a＝3，b＝4，求c
（3）一个直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，求这个三角形的第三边长．
【变式1.1】已知等腰三角形的一条腰长是15，底边长是18，则它底边上的高为（ ）
A．9 B．12 C．15 D．18
【变式1.2】如图，已知△ABC中，∠ABC＝90°，以△ABC的各边为边，在△ABC外作三个正方形，S1，S2，S3分别表示这三个正方形的面积，若S1＝81，S2＝225，则BC＝ ．
【变式1.3】在△ABC中，若∠C＝90°，AC＝5，BC＝3，则AB＝ ．
【变式1.4】图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 ．
考点二 勾股定理的应用
知识小结：
（1）勾股定理是直角三角形特有的重要定理，应用勾股定理时，必须分清哪条边是直角边，哪条是斜边。如果图形不具备勾股定理的特点，那么可以通过添加辅助线的方法来解决。
（2）用勾股定理解决实际问题时，要分析题意，从所给信息中提炼出几何图形，构造直角三角形。
【例2】下列说法正确的是（ ）
A．已知a、b、c是三角形的三边，则
B.在直角三角形中两边和的平方等于第三边的平方
C．在中，∠C=90°，则
D．在中，∠C=90°，则
【变式2-1】下列说法中，不正确的是（ ）
A．三个角的度数之比为1：3：4的三角形是直角三角形
B．三个角的度数之比为3：4：5的三角形是直角三角形
C．三边长度之比为3：4：5的三角形是直角三角形
D．三边长度之比为5：12：13的三角形是直角三角形
【变式2-2】如果把直角三角形的两条直角边长同时扩大到原来的2倍，那么斜边长扩大到原来的（ ）
A.1倍 B.2倍 C.3倍 D.4倍
【变式2-3】小明准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿直插到离岸边1.5 m远的水底，竹竿高出水面0.5 m，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为( )
A．2 m B．2.5 m C．2.25 m D．3 m
考点三 勾股定理的逆定理
【例3】如图，在四边形ABCD中，AB＝1，AD
，BD＝2，∠ABC+∠ADC＝180°，CD
．求四边形ABCD的面积．
【变式3.1】△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，由下列条件不能判定△ABC为直角三角形的是（ ）
A．∠A+∠B＝∠C B．∠A：∠B：∠C＝3：4：5
C．a2＝（c﹣b）（c+b） D．a：b：c
：
：
【变式3.2】若ABC的三边满足（c﹣a）（c+a）﹣b2＝0，则下列结论正确的是（ ）
A．△ABC是直角三角形，且∠C为直角 B．△ABC是直角三角形，且∠B为直角
C．△ABC是直角三角形，且∠A为直角 D．△ABC不是直角三角形
【变式3.3】若△ABC的三边a、b、c，其中b＝1，且（a﹣1）2+|c|＝0，则△ABC的形状为 ．
考点四 勾股数
【例4】下列四组数：①0.6，0.8，1；②5，12，13； ③8，15，17；④4，5，6．其中是勾股数的组数为 ．
【变式4.1】下列说法正确的是（ ）
A．一个三角形的三边长分别为：a，b，c，且a2﹣b2＝c2，则这个三角形是直角三角形
B．三边长度分别为1，1，的三角形是直角三角形，且1，1，是组勾股数
C．三边长度分别是12，35，36的三角形是直角三角形
D．在一个直角三角形中，有两边的长度分别是3和5，则另一边的长度一定是4
【变式4.2】下列各组数是勾股数的一组是（ ）
A．7，24，25 B．32，42，52 C．1.5，2，2.5 D．
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