自然数平方和公式

设S=1^2+2^2+....+n^2

(n+1)^3-n^3 = 3n^2+3n+1
n^3-(n-1)^3 = 3(n-1)^2+3(n-1)+1
...
..
...

2^3-1^3 = 3*1^2+3*1+1

把上面n个式子相加得：(n+1)^3-1 = 3* [1^2+2^2+...+n^2] +3*[1+2+....+n] +n

所以S= (1/3)*[(n+1)^3-1-n-(1/2)*n(n+1)] = n(n+1)(2n+1)/6
 

自然数平方和公式推导：
 

S1=12+22+32+…+n2+(n+1)2+(n+2)2+(n+3)2+…+(n+n)2可以写为：

S1=12+32+52…+ (2n-1)2+22+42+62…+(2n)2，其中：

22+42+62…+(2n)2=22(12+22+32+…+n2)=4S……………………………………..(2)

12+32+52…+(2n-1)2=(2×1-1)2+(2×2-1)2+(2×3-1) 2+…+ (2n-1) 2

= (22×12-2×2×1+1) +(22×22-2×2×2+1)2+(22×32-2×2×3+1)2+…+ (22×n2-2×2×n+1)2

=22×12+22×22+22×32+…+22×n2-2×2×1-2×2×2-2×2×3-…-2×2×n+n

=22×(12+22+32+…+n2)-2×2 (1+2+3+…+n)+n

=4S-4(1+2+3+…+n)+n……………………………………………………………..(3)

由(2)+ (3)得：S1=8S-4(1+2+3+…+n)+n…………………………………………..(4)

由(1)与(4)得：2S+ n3+2n(1+2+3+…+n) =8S-4(1+2+3+…+n)+n

即：6S= n3+2n(1+2+3+…+n)+ 4(1+2+3+…+n)-n

      = n[n2+n(1+n)+2(1+n)-1]

      = n(2n2+3n+1)

      = n(n+1)(2n+1)

     S= n(n+1)(2n+1)/ 6

亦即：S=12+22+32+…+n2= n(n+1)(2n+1)/6……………………………………(5)

以上可得各自然数平方和公式为n(n+1)(2n+1)/6，其中n为最后一位自然数。

由(5)代入(2)得自然数偶数平方和公式为2n(n+1)(2n+1)/3，其中2n为最后一位自然数。

由(5)代入(3)得自然数奇数平方和公式为n(2n-1)(2n+1)/3，其中2n-1为最后一位自然数。
 

例题：
 

下列各题中， 能用平方差公式的是（ ）
A.(a－2b)(a＋2b) B.(a－2b)( －a＋2b)
C.( －a－2b)( －a－2b) D. ( －a－2b)(a＋2b)